La isla de los números fantasiosos

T.E.L: 8 min.

¿Los números tienen existencia real?

Abordaré aquí, como en alguna ocasión anterior, el dilema sobre si los números "existen". Pero para hacerlo, primero hace falta sentar las bases de un debate anterior que es si las matemáticas son un invento o un descubrimiento.

Sobre el significado de las palabras
Toda palabra tiene más de un significado. No creo que sea oportuno entrar en otro debate sobre si está bien o mal que así sea. Vale al menos tener en claro que eso ocurre y podríamos agregar que resulta imposible cambiarlo. Esto no implica, sin embargo, que debamos claudicar a la Torre de Babel, porque podemos definir, a pesar de que tenemos otro problema de fondo: para definir hay que usar otras palabras, que también habría que definir. Para este fin específico usaré aquí dos significados de la palabra "invento" para contraponer (o no tanto) con la palabra "descubrimiento".

PRIMER SIGNIFICADO DE INVENTO
Digo que un invento es un artificio, algo producido por seres humanos. Lo contrapuesto es lo natural. En tal sentido, todo lo que llamamos "cultura" es un artificio. Podemos hacer una doble lista:

Artificio/Lo artificial: lavarropas, perfumes, tazas, relojes, autos, pinturas, museos, escaleras, bufandas, ravioles...

Natural: Sol, estrellas, mar, peces, gato, plantas, electrones...

Bien podríamos decir, además, que entre lo artificial están las ideas, ya que éstas no son "naturales", sino producidas por los seres humanos.
Y como consecuencia, también en lo artificial está toda la ciencia, todas las hipótesis, teorías, marcos conceptuales. La ciencia es una producción humana y, como tal, es un artificio.

Nótese que no uso la palabra "artificio" en un sentido negativo (ni positivo), como tampoco lo uso en la palabra "natural". Son dos categorías, no son un juicio de valor.

Entonces, las matemáticas siempre son un artificio, y por tanto, un invento. Las teorías hay que hacerlas, inventarlas, construirlas. Eso no significa que un artificio sea algo falso o malo.

SEGUNDO SIGNIFICADO DE LA PALABRA INVENTO
Un invento también es una idea imaginaria, un cuento, un relato. Pero hay dos tipos de relatos:
Los relatos "realistas" y los "fantasiosos". Puedo imaginar que existen los electrones y luego ENCONTRAR que efectivamente existen. Y diré que existen en tanto tienen existencia comprobada fuera de nuestro cerebro individual. Cuando es así, decimos que tal cosa existe "objetivamente", porque puede ser demostrada por otras personas. En cambio, mis recuerdos íntimos, los recuerdos de mi vida con Rey, el gato de la casa, son "subjetivos" porque no tengo forma de demostrarlos. Existen tales recuerdos, pero no "objetivamente". [Aquí va Memories of Green, de Vangelis.]

Y también tenemos los relatos fantasiosos, por ejemplo, los unicornios, los duendes y otras ideas que no tienen existencia real, objetiva, fuera de nuestro cerebro. Por ejemplo, la idea de que vivimos en una sociedad meritocrática....

DESCUBRIMIENTOS NATURALES
Si los objetos o fenómenos descubiertos pueden ser naturales, bien podríamos convenir que todo descubrimiento es también un artificio, si es consecuencia de la investigación científica, para la cual hay que construir, inventar, teorías y experimentos. Porque, de alguna manera, descubrir requiere inventar. Pero...
Sin ser científicos, podemos "descubrir" que hay árboles fuera de nuestro cerebro. De hecho, antes de ver un árbol, en nuestro cerebro no hay idea de árbol.
Berkeley sostenía que las cosas existen porque las miramos. Los árboles pueden existir aunque nadie los mire. Pero la idea y la palabra árbol solo pueden existir cuando hay personas. Las ideas (y las palabras) son humanas, no naturales.
Lo mismo ocurre con los colores (segmento de las radiaciones existentes), que "descubrimos" sin ningún invento. Pero no puedo descubrir de la misma forma, tan poco elaborada y solo producto de los sentidos, a los quarks o los electrones.
De forma análoga, podemos "descubrir" ciertas "cantidades" sin saber nada de matemáticas: un árbol, dos conejos, tres pepinos...Pero difícilmente pueda hallar de la misma manera, poco elaborada, solo por la mera observación, los números irracionales, que no se pueden expresar como razón de dos números, como fracción.

Es por esto que las matemáticas son tan poderosas. Nos permiten descubrir que los números naturales (incluyendo al cero), es decir, los números positivos, son tantos como los números enteros (que contienen a los negativos también), aunque suene descabellado.
Esto se descubrió gracias a un invento genial de un matemático brillante. Pensemos:
Ponga usted el número negativo más alto que quiera, digamos "-1.000.0000" en una columna. Y debajo sigamos anotando los números posteriores hasta el cero. En la otra columna, pondremos los números naturales, empezando con el cero y enumerando los siguientes. Si quiere, lo puede hacer ayudándose con una planilla de cálculo, y para simplificar, usemos valores menores, por ejemplo desde el -100.
Quedará algo así:

Como notará, por cada número Z (Entero) podemos hacer corresponder un número N (Natural). Ahora piense esto:
Si tengo una bolsa con 10 esferas y otra bolsa con X cubos, un número desconocido de cubos. Y no sé contar, ¿qué puedo hacer?
Pongo un cubo al lado de cada esfera. Si tengo tantos cubos como esferas, entonces los cubos son la misma cantidad que las esferas, es decir en este caso, 10.
Si tengo tantos números Z como N, entonces la cantidad de ambos conjuntos es la misma. Aunque esto suene ilógico porque en un caso tenemos todos los positivos y todos los negativos y en el otro solo los positivos (que deberían ser la mitad de todos los anteriores).

Por tanto, hay cosas que existen fuera de nuestro cerebro que las podemos descubrir sin mayor esfuerzo y otras que no son tan sencillas de descubrir. ¡Para eso tenemos la ciencia!

Las matemáticas son muy poderosas y también algo limitadas. Por ejemplo: ¿podemos saber si la raíz quinta de cinco es un número irracional?
¿Cómo podríamos saberlo?
Se ha "descubierto" a través del ingenio humano que la raíz de dos y el número Pi son irracionales. Pero ¿se puede demostrar que es irracional a todo número que tenga infinitos decimales? Este tipo de demostraciones, cuando fueron "halladas", fue en base a un gran esfuerzo intelectual, es decir, gracias al trabajo. Ese conocimiento no es fruto de la naturaleza, como la lluvia, no cae del cielo ni es evidente.

CONOCIMIENTO UNIVERSAL
A veces se dice que las matemáticas serían un "lenguaje universal". La razón es que se sostiene que ciertas ideas son igualmente válidas en cualquier parte, por ejemplo, que en cualquier círculo, el perímetro será producto de su radio (al cuadrado) y el número Pi. Y, sin solución de continuidad, se sostiene que cualquier otra civilización inteligente llegaría al mismo resultado.
Sin embargo, se mezcla "lenguaje" con "ideas". Es bastante poco probable que otras civilizaciones escriban "Pi", o que usen el símbolo "3" para denotar la cantidad tres.
Por otro lado, hay varios métodos para multiplicar que llegan al mismo resultado. Es altamente probable, entonces, que otras civilizaciones usen otras matemáticas, con otros lenguajes y técnicas, aunque el resultado sea el mismo. Porque las matemáticas son un invento que se usa para descubrir. El invento será diferente, el conocimiento descubierto será el mismo.

SOBRE EL LENGUAJE MATEMÁTICO
Las matemáticas, además de ser un método lógico, son un lenguaje y un sistema que tiene convenciones. Algunas de esas convenciones son los nombres otorgados a las "familias" de números. Z, los números enteros; R, los reales; N, los naturales. Tanto los "enteros" (que se pueden dividir) como los "imaginarios", son números que pertenecen a grupos con nombres dados por una convención que dicen poco sobre tales números. No son una categoría "ontológica". Para sintetizar: Los números enteros no implican que hay otros números "rotos"; y que le digamos a otros números "imaginarios", no significa que esos y solo esos están en nuestra imaginación. Los números imaginarios no son fantasiosos. O, si lo son, los demás también.

MÉTODO PARA SABER SI LOS NÚMEROS SON FANTASIOSOS O REALISTAS
Por tanto, elaboro dos categorías nuevas: los números realistas serán aquellos que tengan "existencia real, objetiva" fuera de nuestro cerebro. Y los números fantasiosos, serán los que NO tengan existencia fuera de la mente.

¿Qué significa que un número tenga "existencia real objetiva"?
Lo podríamos plantear así: Tomo un número, que es una idea de cantidad y vemos si esa idea la podemos aplicar para describir o explicar algo que exista fuera de nuestro cerebro. Si lo logramos, diremos que esa idea no es una mera fantasía, sino que tiene existencia real, objetiva.
Por ejemplo, el número RAÍZ(2) lo podemos "hallar, encontrar, descubrir" en cualquier cuadrado de lado 1, ya que sus diagonales medirán eso y serán también la hipotenusa de sendos triángulos rectos cuyo valor podemos averiguar por el Teorema de Pitágoras. Se demostró que ese número es irracional, lo que no significa que el número esté loco...

Y entonces haremos otra lista:
En una columna el número, en la otra si es realista (R) o fantasioso (S).
Los números naturales más chicos, son realistas. Lo podemos comprobar en la vida diaria. Un pomelo, dos torcazas, tres goles de River...
Pero, ¿cómo saber si un número cualquiera, un número que podemos IMAGINAR tiene o no existencia objetiva?
Pues habría que salir a buscar en la Naturaleza (o en los procesos sociales). Y ahí ya tenemos un gran problema:
Los matemáticos no hacen eso. Por tal motivo se dice que las matemáticas no son una ciencia, ya que carecen del elemento empírico. Son ciencias lógicas, en todo caso. Las matemáticas se demuestran...con matemáticas, sin experimentos ni observaciones (aunque algunos matemáticos se inspiraron en fenómenos naturales).

En cambio, sí tenemos ciencias empíricas, como la astronomía o la física o la química o las ciencias sociales. Y en tales ciencias hacen falta números para describir la realidad (también "operaciones").
Entonces, hagamos esto:
Pensemos el número más grande que seamos capaces de IMAGINAR:
10 a la 100 a la 100...que es lo mismo que (10 a la 100) a la 100; o 10 a la 100*100.
O mejor:
10 a la (100 a la 100), que es mucho más grande.
Y busquemos si con tal número podemos describir algo que exista fuera de nuestro cerebro. Si lo encontramos, probamos con otro, quizás más grande:
10 a la (1000 a la 1000) y así.
Hay una "filosofía matemática" que se puede expresar de este modo: hay infinitos números fantasiosos, que algún día dejarán de serlo. Hay que salir a buscarlos, porque están allí, esperando a ser encontrados, varados en un universo-isla del cosmos...

¿QUÉ PASA SI NO ENCONTRAMOS NADA?
Que no encontremos algo que pueda ser descrito o explicado con un cierto número que imaginemos, AHORA, no significa que no exista. Quizás cueste encontrarlo. Pero tiene que ser algo que podamos "contar", aunque sea como hicimos antes con los cubos y las esferas, por comparación (se dice por correspondencia, porque a cada elemento de un conjunto le corresponde otro de un conjunto distinto, ¡no porque enviemos cartas!).

Y podemos probar también con números muy pequeños, como 10 a la -44. ¿Lo encontraremos en algún "lugar" o "tiempo"?
¿Podemos contar 10 a la menos un millón, de segundos? ¿Podemos dividir "alguna cosa" en tal fracción tan diminuta?
Ahh...los minutos son tan pequeños que deberían llamarse "diminutos", dijo el poeta en aquella juventud que recuerda como un reloj derretido...

Chuck Noland (Tom Hanks) calcula el área de búsqueda en forma circular, usando Pi*r². Captura de Youtube.
CONCLUSIÓN
Las matemáticas son un invento, uno fantástico, genial, del que deberíamos sentirnos orgullosos, jactarnos, golpearnos el pecho. Como en la película "Náufrago" (Cast Away, Robert Zemeckis, 2000). "¡Fuego! ¡Mira lo que he creado! ¡Fueeegooo!", decía Chuck Noland, el cartero interpretado por Tom Hanks.
[¡Qué apellido le pusieron!: "Noland", "no land", "sin tierra"...]

Los inventos son humanos y requieren esfuerzo, trabajo, ingenio. No son productos caídos del cielo. Las matemáticas no son un regalo de los dioses. Son inventos, como los coches. Son un invento que nos permite descubrir aquello que no creamos y también lo que surge como consecuencia del accionar humano. En aquella lista inicial, entre los artificios, hay escobas, tijeras, vendas, armas, leliqs, bonos, y también hay matemáticas.
Sin el invento de las matemáticas no se habrían descubierto tantas cosas...Estaríamos como perdidos en una isla desierta, como lágrimas en la lluvia.

Fuentes y enlaces relacionados