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26/4/11 - DJ:

El Día de PI gregoriano

T.E.L: 7 min. 36 seg.


Hoy es una fecha en la que es posible festejar, para quienes usamos el calendario gregoriano e independientemente de nuestro idioma, el día de PI. ¿Es posible encontrar otra fecha más ecuménica?
Día de PI


Desde hace unos años, los anglosajones, en Estados Unidos particularmente, festejan el día de PI el 14 de marzo. Lo hacen ese día por la forma de escribir la fecha en su idioma: 3/14. Es decir que escriben primero el mes y luego el día.
En español esto mismo no es posible, aunque se ha sugerido la fecha 22/7, ya que la barra es también usada como símbolo de la división y 22 dividido 7 es una buena aproximación a este fascinante número irracional.

¿Y dónde está PI?
Pero en ambos casos ¿dónde está PI? En 3/14 no hay PI. La barra es eso, no una coma. Es una fecha, no un número. En el otro caso lo mismo.

Es por eso que resulta más elegante la propuesta de festejar el Día de PI el 26 de abril (o 25 de abril en años bisiestos).

Para explicar cómo surge esta fecha vamos a realizar algunas cuentas. No se asuste el lector, son cálculos muy sencillos. Si tiene una planilla de cálculo a mano, como LibreOffice, le aliento a usarla. De esa forma podrá contrastar la información aquí vertida y además podrá guardar su planilla para otros cálculos.

Voy a explicar esto en dos partes. La primera es una noción general. La segunda, que surge de la anterior, explica por qué la propuesta del 26 de abril es una sugerencia relacionada con el calendario gregoriano. Finalmente, en una tercera parte de este artículo comentaré algunas conclusiones al respecto.

PRIMERA PARTE: PI EN EL CIELO
La propuesta del 26 de abril surge de una idea que luego podrá ser implementada de otras formas. Ya veremos por qué. Pero lo fundamental es la idea básica:
Suponga que Ud. recorre todos los días 10 cuadras (1000 metros) entre su casa y su trabajo.
Es posible "encontrar" a PI en el camino a su trabajo de esta forma.
PI=L/x
donde L es el camino a su trabajo (1000 metros) y x es la longitud de un segmento, al que podríamos llamar A-B, en ese recorrido.
¿Cuánto vale x? Pues despejamos x, la incógnita, y tenemos:

x=L/PI
Si L=1000

x=1000/PI
x=318,31.


Esto significa que al caminar 318,31 metros usted habría recorrido una distancia que al ser dividida entre el camino total da como resultado PI:
1000 / 318,31 = 3,1415...


Este mismo razonamiento ha sido sugerido con relación al recorrido de la Tierra alrededor del Sol:

La Tierra orbita al Sol. Sabemos que las órbitas planetarias son elipses y no círculos perfectos. Pero en el caso de la Tierra, aunque esto es verdad, lo cierto es que es una órbita muy parecida a un círculo. Como aproximación, entender la órbita de la Tierra como un círculo no está mal.
En cualquiera de los dos casos, sea que pensemos en una elipse (NOTA 1) o en un círculo, es posible calcular su longitud. Con la idea de círculo en mente es más fácil, ya que todos sabemos calcular una circunferencia:

circunferencia


Para hacer este cálculo necesitamos conocer el radio o diámetro del círculo.

En el caso del Sistema Tierra-Sol, el radio es la distancia media entre estos dos objetos. Esa distancia es conocida y utilizada como unidad de medida: la unidad astronómica, cercana a 150 millones de kilómetros.

Según Wikipedia una UA es igual a 149.597.870 km.

Tierra-SolImagen 2: Distancia media entre la Tierra y el Sol. En algunos momentos del año el mundo está más cerca del astro, en otros más lejos, de acuerdo a las Leyes de Kepler


Si la longitud de la órbita, calculándola como si fuera un círculo, es L, entonces:
L=PI * 2*r, donde r=149.597.870.

Por lo tanto L= PI * 2 * 149.597.870, es decir:
939.951.139 km (9,40E+008 en notación científica.)
En criollo son novecientos treinta y nueve, casi novecientos cuarenta millones de kilómetros!!

Longitud órbita TierraImagen 3: Conociendo el radio (como distancia media), podemos calcular el perímetro fácilmente suponiendo que es un círculo. Obtendremos un valor aproximado.


¿Dónde está PI?
Al igual que antes razonamos así:
PI=L/x
x=L/PI

donde x es la longitud de un segmento en la traslación de la Tierra, al que podríamos llamar también A-B.

Como sabemos L y PI es fácil:
x=939.951.139/PI
x=299.195.740 km (1)


Nota: alguien dirá: ¡Qué extraño que x sea el doble de la unidad astronómica!

Si seguimos el ejemplo de la recorrida al trabajo, aquí aplicado a la órbita del Sol, podríamos decir que cuando la Tierra recorre casi 300 millones de km, encontramos a PI en el cielo, ya que si a la longitud total de la órbita la dividimos entre esa cantidad tendremos a PI:

939.951.139 / 299.195.740= 3,14159...

El factor tiempo
Podemos hacer algo más ahora y preguntarnos cuánto tiempo tarda la Tierra en recorrer x, es decir, en trasladarse alrededor del Sol 299.195.740 km.
No es difícil responder a esto en forma aproximada, así:
Si la Tierra tarda 365 días en recorrer toda la órbita, es decir 939.951.139km, al dividir ambas cantidades tendremos lo que tarda por día:

939.951.139/365= 2.575.209 km por día.

Si la Tierra se traslada esa cantidad por día, ¿cuánto tardará en trasladarse x?

De (1) tenemos que x= 299.195.740 km, así que dividimos:
299.195.740 / 2.575.209 = 116,18 días.

Así, concluimos: A los 116 días de traslación, la Tierra recorre una cantidad de km (299.195.740) que al dividírsela a la longitud de la órbita (939.951.139) nos da como resultado PI.

También podríamos tomar como dato de partida la velocidad orbital media, según Wikipedia de 29,78 km/s. Recordamos que es velocidad media en virtud de la Segunda Ley de Kepler, no?
Luego, si son 29,78 km/s, por minuto será eso por 60. Si a ese resultado lo multiplicamos por otros 60 será la velocidad por hora y si a eso lo multiplicamos por 24 será un valor aproximado a la velocidad de traslación diaria, unos 2.572.992, muy similar al valor anterior.

SEGUNDA PARTE: PI EN EL CALENDARIO GREGORIANO
Con estos simples cálculos podemos contar 116 días en el calendario. En occidente usamos el calendario gregoriano, que comienza el 1 de enero. Así, el día de PI será el día número 116. Para los años regulares será el 26 de abril. Para los años bisiestos caerá el 25 de abril.

La ventaja de festejar el Día de PI el 26 de abril, con respecto a otras fechas, es que en este razonamiento sí está PI, que es un número y no una forma subjetiva de interpretar una fecha escrita. Además, no está limitada por el idioma como las antes citadas. Pero...

NOTA 1: LONGITUD DE LA ELIPSE
Si queremos tener un poquito más de precisión, o nos pica la curiosidad, podríamos calcular la longitud de la órbita terrestre no ya como un círculo, sino como lo que realmente es, una elipse.
Pero esto lo podrá hacer sólo si posee un conocimiento un poquito más avanzado de matemática y no ignorar las preciadas Leyes de Kepler.
Empero, es posible calcular el perímetro de una elipse con una ecuación más sencilla, aunque es una aproximación también. Esta ecuación fue propuesta por el gran matemático Ramanujan y toma como variables el semieje mayor y el semieje menor. Ambos datos son también conocidos.
Según Wikipedia:
Semieje Mayor: 149.597.887,5 km
Semieje Menor: 149.576.999,826 km

La ecuación de Ramanujan es:

Perímetro de una elipse


Usando una planilla de cálculo
Abrimos una hoja nueva.
En la celda A1 colocamos "longitud elipse"
En A2 colocamos "Semieje Mayor".
Al lado, en B2 ingresamos "149.597.887,5"

En A3 escribimos "Semieje Menor" y en B3 "149.576.999,826"

Debajo, en otra celda, por ejemplo en A5 podemos escribir:
=PI()*((3*(B2+B3))-(RAÍZ((3*B2+B3)*(B2+3*B3))))

para calcular con los datos previos la longitud de la elipse con la ecuación de Ramanujan.

En el cálculo anterior, tomando la órbita como un círculo nos dio 9,40E+008 en notación científica.
Con esta ecuación, ¿nos da algo muy distinto? (Para obtener el resultado en esta notación puede posicionarse en la celda del resultado y elegir Formato/Celda/Ciencia.



TERCERA PARTE: HACIA UN DÍA DE PI ECUMÉNICO
Sin embargo, no todas las personas en la faz de la Tierra utilizan el calendario gregoriano. Existen otros calendarios que dividen el año de otras maneras, como el calendario chino o el hebreo.
Con el razonamiento anterior es posible, sin embargo, establecer un día de PI para cualquier calendario, ya que en todos los casos será posible hacer un razonamiento similar. Pero serán momentos distintos.
Pero PI es un número universal. Podemos encontrar a PI en China, Israel, Estados Unidos, Colombia, Júpiter, Gliese 581. En todas partes donde sea posible realizar un círculo estará PI. No tiene idioma ni fronteras.

Que cada cultura tenga su propio Día de PI no está mal. Es bueno mantener nuestra identidad, pero también podría ser unificador poder festejar PI todos los habitantes de la Tierra un mismo día.

Las ciencias, en este caso la astronomía, la física y la matemática, se desarrollan en cada país con sus propias particularidades e idiosincracias, pero hay un lenguaje común. Todos los astrónomos del mundo, independientemente de su lugar de nacimiento y costumbres culturales, utilizan las mismas definiciones astronómicas, por ejemplo el año sidéreo.

Podrían entonces utilizarse esas definiciones para celebrar mundialmente el Día de PI.
Pero, aunque estemos de acuerdo en que será un día tal que el mundo haya recorrido casi 300 millones de kilómetros, es decir, luego de 116 días, ¿cuál habría de ser el inicio?

Y aquí hay muchas posibilidades: el perihelio, muy similar al comienzo del calendario gregoriano (3 de enero), que es cuando nuestro planeta se encuentra más cerca del Sol; o bien el Afelio, cuando está más lejos, o los solsticios o los equinoccios.

Solsticios y EquinocciosImagen 4: Solsticios, equinoccios, afelio y perihelio


Si el lector desarrolló los cálculos anteriores en una planilla, sería muy fácil usarla para calcular cuándo caería el Día de PI partiendo de cualquiera de esas seis fechas.

Hay que considerar que cualquiera de estas "fechas de inicio" variarán en el tiempo. El equinoccio de marzo no será siempre el 20 de ese mes. Podrá caer el 19 ó el 21, según el año. Lo mismo para las demás.

EL PRINCIPIO DEL FIN
Para finalizar cabría pensar que la órbita de la Tierra no tiene principio ni final. Todos los días empieza y todos los días termina. Todos los días son el Día de PI.

Y para honrar este fabuloso descubrimiento humano de una fascinante constante que aparece en la Naturaleza, debo decir lo que sigue:

Hoy es una fecha en la que es posible festejar, para quienes usamos el calendario gregoriano e independientemente de nuestro idioma, el día de PI. ¿Es posible encontrar otra fecha más ecuménica?

Fuentes y links relacionados



Sobre las imágenes

  • Las imágenes 1 (inicial), 2 y 3 están basadas en un gráfico de Kalipedia.
  • Imagen 4. Crédito: Agrupaciò Astronómica de La Seu d'Urgell (AASU).


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