Calcule el radio de la Tierra con su reloj

T.E.L: 4 min. 2 seg.

Así como es posible, sin salir de casa, calcular la distancia al horizonte (incluso en otros mundos), también podemos, calcular el radio de la Tierra.

En su Geometría recreativa, Yakov Perelman nos presentaba el problema de cómo calcular la distancia al horizonte y su correspondiente solución.
Para quien aún no conozca cómo hacerlo recomiendo hacer una búsqueda en la web o bien visitar estos enlaces seleccionados:

Geometría Recreativa - Yakov Perelman
ECYT-AR: Distancia al horizonte
Distancia al Horizonte, Dr. David Stern
RecursosTIC: Distancia al horizonte (con aplicación java de GeoGebra)

Para calcular la distancia al horizonte se aplica el famoso Teorema de Pitágoras y se llega a la conclusión que la fórmula a usar es que la distancia h = raíz (2.a.R), donde a es la altura de la persona y R el Radio de la Tierra.

Vamos a usar esta idea para calcular ahora el radio Terrestre.
Pensemos lo siguiente:
Nos situamos sobre la superficie de la Tierra y trazamos mentalmente una línea hasta el centro del Planeta. Lo que habremos hecho es trazar una línea igual al radio terrestre. Ahora caminamos. Supongamos que caminamos un cuarto del perímetro y trazamos una segunda línea desde la posición final también hasta el centro de la Tierra, lo que tendremos entre esas dos líneas es un ángulo recto. Y lo que caminamos fue un cuarto de la esfera, es decir 360º/4=90º. Entre el ángulo y la distancia recorrida hay correspondencia. Podemos caminar hasta la mitad del perímetro y tendremos un ángulo llano que se corresponderá a 360º/2=180º.
Esto implica que el ángulo y la distancia recorrida se corresponden.

Nos situamos en un punto 1 de la Tierra y trazamos una línea imaginaria hacia el centro. Caminamos un cuarto del perímetro, hasta el punto 2 y volvemos a trazar la línea imaginaria. El ángulo entre ambas líneas será de 90º y habremos recorrido un cuarto del perímetro (360º/4=90º).
Como el ángulo es muy chico, el segmento B y el C son aproximadamente iguales

Pero para hacer un cálculo como este, ¿debemos caminar sobre la superficie de la Tierra?. No, podemos aprovechar que nuestro planeta rota sobre su eje. Si estamos en una playa es posible esperar sentados a que el Sol se ponga. En ese momento nos paramos. Veremos ahora, ya parados, algunos rayos del Sol y empezamos a medir cuánto tiempo pasa hasta que lo volvemos a dejar de ver. Para una persona de estatura media, digamos 1.7 metro el tiempo transcurrido será de unos 10 segundos.

Con este dato podemos sencillamente aplicar la siguiente fórmula:

Veamos si funciona:
El segundo término tiene divisor y dividendo. En un caso es la mitad de nuestra altura. Digamos que es entonces 1.7 / 2= 0.85.

Debajo: 10 segundos (el tiempo transcurrido) / 24 horas (86.400 segundos)= 0,00011. Lo multiplicamos por 3,14 y tenemos 0,00036. Eso al cuadrado es 0,00000013.

0,85/0,00000013= 6.435.571 metros, algo más de 6.400 km, cercanos a los 6.378 que tiene el radio del planeta.

Pero ¿de qué me sirve la distancia al horizonte y de dónde surge la fórmula?

Empezamos diciendo que el ángulo recorrido está en concordancia con la distancia recorrida. Esta distancia recorrida es similar a la distancia al horizonte:

Como se ve en la figura de arriba, cuando el ángulo es muy pequeño, como en este caso, la distancia recorrida será aproximadamente igual a la distancia al horizonte. Es decir que el segmento B en la figura será casi igual al C.
El segmento B es la distancia al horizonte que ya sabemos que es la raíz de 2xaxR.

Además sabemos que la Tierra da un giro completo (360º) en 24 horas por lo que el ángulo recorrido/360 es igual al tiempo transcurrido/24 horas.

De esto podemos deducir que:
tiempo transcurrido /24 horas = distancia al horizonte / perímetro de la Tierra.

Si elevamos al cuadrado ambos términos se mantiene la igualdad (5).

Ahora, reemplazamos la distancia al horizonte por la fórmula antes indicada (que aquí no explicamos, pero señalamos otros sitios web en los que se explica) y también reemplazamos el perímetro de la Tierra por su correspondiente ecuación (6 y 7).

Otra vez, más gráfico:

Como la distancia al horizonte es una raíz y ese miembro lo elevamos al cuadrado, podemos cancelar.

Luego es fácil despejar R. Podemos distribuir la potencia del segundo miembro, cancelar el dos y R, pasar Pi al cuadrado al otro lado multiplicando. Pasamos a/2 y obtenemos la fórmula antes usada.

Distancia al horizonte y altura variables
Si hemos visto en los enlaces indicados cómo calcular la distancia al horizonte, entonces quizás nos resulte curioso saber:
1-¿Qué altura tendríamos que tener en otros mundos si la distancia al horizonte fuera x?
2-¿Cuál sería la distancia al horizonte en otros mundos si nuestra altura fuera x?

Esos datos los podemos calcular fácilmente con una planilla de cálculo, como DistHorizonte.
Veamos:
En la hoja 1 tengo a cada planeta y la Luna de la Tierra con sus correspondientes datos de radio ecuatorial según NASA. Debajo para cada caso en forma independiente puedo calcular ambos parámetros:

En la hoja2 puedo cambiar sólo un parámetro, la altura, pero para todos los planetas/Luna:

Vemos que una persona de 1.7 metros tendría una distancia al horizonte de 2.4 metros en la Luna y de 15.59 en Júpiter.

Luego, en la hoja3, lo mismo pero sólo para la distancia al horizonte. Esto es más raro porque implica qué altura tendríamos que tener en cada mundo para que nuestra distancia al horizonte sea la misma que en la Tierra. Todo a nivel del mar.

Nota escrita para el XXII Carnaval de la física, en esta edición hospedado por BioUnalm. Para unirse y leer las entradas existe una red social en Ning.

Fuentes y links relacionados