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Divulgar es tener conciencia de una altísima misión: poner al alcance de la mayoría el patrimonio científico de la minoría. Manuel Calvo Hernando Another Day in the Lab

1/1/20 - DJ:

Demostración matemática de que las apariencias engañan

T.E.L: 5 min.

¿Es válido el método de comparación entre símiles?



Es muy común, sea en el análisis diario tanto como en el análisis científico, que se use como método la comparación entre parecidos para extrapolar la conclusión.
Este método es muy usado en biología, física y mucho también en ciencias sociales. Pero, ¿es válido?
Lo es, siempre y cuando sepamos que tiene una trampa: las conclusiones serán extrapolables si el parecido es "suficiente". Y el problema está en determinar cuándo y cuánto es suficiente en cada caso.
Las matemáticas nos pueden ayudar a mostrar un límite a este método, no para dejar de usarlo, sino para saber que es un método falible. En definitiva, demostraremos lo ya sabido: que las apariencias engañan. Esto se puede demostrar de muchas maneras, ya que además hay diferentes formas en que las apariencias pueden ser engañosas. Un famoso ejemplo es el de las puertas de Monty Hall.

Para esto voy a proponer cuatro casos matemáticos, todos muy parecidos entre sí, basados en la potenciación. El primer caso no requiere mayor conocimiento, pero para los siguientes conviene repasar algo que aprendimos en el colegio secundario, ciertas propiedades de las potencias, a saber:


Para desarrollar los casos, usaré imágenes, ya que asegura que la visualización sea la correcta en diferentes navegadores y sistemas operativos.

Antes de comenzar, sugiero que repase un poco las propiedades indicadas antes. Esto también tiene otro objetivo, que es demostrar que tales propiedades funcionan y tienen un fundamento lógico. Es importante porque las usaré aquí y bien vale un breve repaso a través de ejemplos que suministro a continuación:


Ahora sí. Mostraré los cuatro casos que ya indiqué en la imagen inicial, uno por uno. La idea es que, de un vistazo a la primera imagen, indico que en los tres primeros casos el número mayor es el que tiene la base 3. Y dejo dudas sobre el cuarto caso que, por comparación, uno podría decir que también es más grande el número con la base 333. Veamos si las apariencias resultan verdaderas o no.

El primer caso es muy simple: ¿Cuál de estos dos números es mayor: 2 al cubo o 3 al cuadrado?


Es fácil, ya que el primer valor es 8 y el segundo es 9.

El segundo caso es muy parecido: 2 a la 33, versus 3 a la 22.


Es similar al caso anterior, con las mismas bases, pero con un cambio en ambos exponentes, en la misma proporción. Si aplicamos el método de similitud, sin hacer cuentas, pensaremos que el segundo número es mayor al primero. Veamos: Al aplicar las propiedades antes mencionadas, tenemos que el primer valor es 8 a la 11 y el segundo es 9 a la 11. Por tanto, el segundo, tal y como pensábamos por comparación, es mayor.
Hasta aquí, el método comparativo parece funcionar. Sigamos con otro ejemplo.

El caso tres es notoriamente similar: 2 a la 333 versus 3 a la 222.

Mismas bases, aumentando los exponentes en la misma proporción.
Si lo desarrollamos, llegaremos a que el primer valor es 8 a la 111 y el segundo 9 a la 111. Nuevamente, la similitud es correlativa con la verificación aritmética.

La comprobación la podemos hacer con calculadora o planilla de cálculo, aunque enseguida aumentaré las bases y los resultados tendrán muchos dígitos, por lo cual las calculadoras no arrojarán el resultado.
Por otro lado, con simple aritmética y un poquito de esfuerzo, podemos saber qué número es mayor sin tener que calcularlo. De paso, hacemos "crossfit" cerebral y ejercitamos una parte de nuestras habilidades cognitivas, que es una forma de ejercer nuestro humanismo.

El cuarto caso implica comparar ahora entre 222 a la 333 y 333 a la 222.
Ahora tenemos los mismos exponentes que el caso anterior, pero con bases 111 veces más grandes. En el caso previo, la diferencia entre bases era solo 1, ahora es 111. En el caso 3, la diferencia proporcional entre una base y otra era 50% (ya que 2 más la mitad es 3), y en el caso 4, también, porque 222 más la mitad es 333. Por tanto, las bases tienen la misma proporción que en el caso anterior. Y los exponentes son los mismos. ¿No es lógico entonces, por comparación, suponer que el segundo número es también en este caso más grande que el primero?

Parece lógico, pero es falso. El primer número es mayor. A continuación, haré la demostración. Pero dejaré algo pendiente, ¿cómo se explica un resultado "inesperado" en virtud de lo dicho en el párrafo anterior? (Ver aparte)

Demuestro:
Primero descomponemos las bases como producto.
Luego distribuimos la potencia, cosa que es posible porque es una multiplicación. Si fuera una suma o resta habría que hacer otra cosa.
Al hacer esto, en ambos números tenemos un producto. Y uno de los factores, en cada caso, es igual a los valores que teníamos en el caso anterior, indicado en rojo en la imagen. Por tanto, podemos reemplazar.

Al hacerlo, ya podemos notar por qué el primero número es necesariamente más grande que el segundo. Ocurre que el primer factor es un poco menor en el primer número que en el segundo. Pero el otro factor es mucho más grande en el primer número.
Sin embargo, continuaremos para llegar al final.
Ahora, por otra propiedad, descomponemos el exponente como producto de igual base, en el primer número.
En el segundo número no hacemos nada.
Luego, en el primero, usamos otra propiedad para multiplicar bases distintas con igual exponente y finalmente tenemos la expresión de cada número como un producto.


Ahora vemos que uno de esos factores es el mismo en ambos números, pero el otro es un factor mucho mayor en el primer número que en el otro.
Concluimos que el primer número es mucho mayor que el segundo, aunque parecía otra cosa.

Este es un buen regalo para toda ocasión. Es nerd, útil y entretenido. Guárdelo en un bolsillito de la mente y úselo con discreción.

Aparte: ¿Por qué resulta engañoso?
Creo que la explicación es doble: por un lado, tendemos a pensar en forma lineal, no en forma exponencial.
Segundo, los ejemplos elegidos contribuyen a eso: Es evidente que en los tres primeros casos se aumentaron los exponentes, no las bases y solo en el cuarto ejemplo se aumentaron notablemente las bases, dejando los mismos exponentes que en el caso anterior.
Para que quede claro, agregaré a continuación un ejemplo similar a los expuestos, pero que fue excluido del análisis:
22^3 versus 33^2. El símbolo ^ indica potencia y se lee "elevado a".
El primer número es 10 veces más grande que el segundo.
En definitiva, parece una comparación lógica, pero estamos salteando ejemplos, por lo que estamos comparando peras con bananas.
Mire qué distinto es cuando agrego estos ejemplos que fueron excluidos de los casos anteriores:

Es fácil engañar cuando se usan solo los datos que convienen y se excluyen los que no. Es lo que diferencia a los astrólogos de los meteorólogos. Los primeros se jactan de las pocas veces que aciertan, ocultando las que se equivocan. Los meteorólogos hacen lo contrario: se equivocan menos veces que las que aciertan. Pero eso solo se percibe cuando se mira el panorama. Eso es lo único que enseña la astrología: lo que no hay que hacer.
Avísele a los que viven colgados de las apariencias.

Fuentes y enlaces relacionados
¿Puedes responder sin usar la calculadora? Qué numero es mas grande 222³³³ o 333²²²?
https://www.youtube.com/watch?v=_U2SMP115xA

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