Matemáticas: un juguete gratuito y sin pilas

T.E.L: 8 min.

Historia personal de un acertijo aritmético.

Hace unos días, un antiguo compañero de estudios me envió un email preguntándome sobre un problema matemático. Un minuto después, tomé mi teléfono, saqué una foto de un anotador y adjunté la foto como respuesta, junto con mi número de teléfono.

A los minutos, escuché el tono de llamada: -Gerardo, ¿acaso te volviste un genio? ¡Tardaste 2 minutos en resolver el problema!

No, le dije a mi interlocutor. Es como esos videos en los que una persona, desde el extremo de una cancha de básquet, tira una única vez y encesta. Sabemos que, en general, esos videos son algo "mentirosos", ya que la persona intentó 300 veces y solo encestó la última, que es la única que se muestra. En este caso es lo mismo: yo conocía el problema con anterioridad, estuve tratando de resolverlo durante varios días y finalmente lo logré. La foto es el resultado de un proceso que me costó trabajo y tiempo, no me llevó solo dos minutos. No, no soy un genio.

Entonces, mi compañero me pidió que le contara mi historia con este problema. Cumplo con este post, ya que puede ser de interés para los lectores.

Antes, vale conocer cuál fue el problema planteado en el mail:

"Gerardo: te consulto por un acertijo matemático a ver qué se te ocurre.
De la expresión 12^n + 11, demostrar cuándo puede o no generar números primos.
Lo que pensé hasta ahora es esto:
12^1 termina en 2
12^2 termina en 4
12^3 termina en 8
12^4 termina en 6
y luego este ciclo se repite, ya que 12^5 termina en 2 y así.
De modo que, en principio, podría dividir el problema en 4 casos.

En el primer caso, el resultado es primo. En tal caso, no hay que demostrar nada. Como vos recordarás, para demostrar que un número ES primo habría que demostrar que no tiene divisores propios y hacer un bucle desde i=3 hasta la raíz del input, solo para los impares (i+=2). Y cuanto más grande sea el input, mayor será el bucle. De modo que sólo demostraremos algo cuando el valor de la expresión NO sea primo, ya que en tales ocasiones, alcanza con demostrar que la expresión tiene al menos un divisor propio.

Por ende, en el primer caso, es primo. En el segundo, al terminar en 4 y sumar 11, la suma terminará en 5 y en tales casos no puede ser primo. Eso lo podemos generalizar cada 4 potencias, ya que lo mismo ocurrirá con 12^6, 12^10, etc.

Pero cuando llego a 12^3, ya sé que al sumar 11 el valor es compuesto, porque se puede factorizar como 37*47. Sin embargo, ¿se puede demostrar en forma deductiva eso? ¿O acaso para "demostrarlo" solo podemos hacerlo a la fuerza, probando con diferentes valores, por ejemplo usando MOD para saber si el input (1739) tiene resto cero, es decir, un bucle o enumeración de casos: 1739 mod 3, 1739 mod 5...hasta que el resto sea cero, cosa que solo ocurre recién con 1739 mod 37?

Una persona en mi trabajo me dice que no hace falta hacer eso, sino que se puede demostrar en forma lógica deductiva y no me doy cuenta cómo. ¿A vos qué se te ocurre?"

Mi respuesta fue la siguiente imagen:

Nota: a veces usamos el asterisco para denotar multiplicación en vez de una pequeña x y otras veces lo hacemos solo con un punto centrado en altura, como se ve en la imagen del anotador. La expresión 12^n significa el número 12 elevado a la potencia n. En todos los casos, vale dejar en claro, el enunciado implica que n pertenece a los Naturales o enteros positivos.

HISTORIA PREVIA

Hace unos meses, entré a leer el blog Gaussianos. No me acuerdo si opté por leer un post aleatorio o si en alguna entrada reciente había un enlace a un post anterior, pero en cualquier caso llegué a esta entrada: UN PAR DE PROBLEMAS SOBRE TEORÍA DE NÚMEROS.

Allí se propone un problema muy parecido al que me presentó este conocido:

Una forma de resolver aquel problema es la siguiente:

Las potencias de 14 tienen esta característica: si el exponente es par, el resultado termina en 6; si es impar, termina en 4. Es así porque 14x14 necesariamente termina en 6, ya que 4x4=16; y luego si a un número que termina en 6 lo multiplicamos por 14, el resultado finalizará en 4, ya que 6x4=24. Y esto se va a iterar. De modo que se puede dividir el problema en dos partes, una de las cuales es muy simple. Si 14^n (cuando n es impar) es un número cuyo último dígito es 4, al sumar 11, el resultado finalizará en 5 y tales números no pueden ser primos, ya que todo número que termina en 5 es múltiplo de 5.

Nos queda la otra "mitad" del problema: cuando n es par. En tales casos, pasa esto:

14^2=196. Si a 196 lo dividimos entre 3, el resto es 1. Esto se puede expresar como:

196 es congruente con 1 mod 3. (A esto se le dice "congruencia de módulo")

En tal caso, si a ese número le agrego 2 (198), entonces será múltiplo de 3, es decir que 196+2 es congruente con 0 mod 3.

Por tanto, 14^n +2 (cuando n es par) es múltiplo de 3.

9 también es múltiplo de 3.

Si sumo ambos números, el resultado tiene que ser también múltiplo de 3. Por eso, 14^n+2+9=14^n+11 que debe ser 0 mod 3.

Como es usual, el mismo problema se puede resolver de otras formas. Pero dicho esto, ahora podríamos elaborar otros acertijos similares.

¿Qué ocurre con 15^n+11?

Fácil: las potencias de 15 terminan siempre en 5. Al sumar 11 finalizarán en 6, y como tales números son pares, no pueden ser primos.

¿Y si fuera 13^n+11?

Igual de fácil: las potencias de 13 son todas impares: finalizan en 3, 9, 7, 1. Si a un número impar le sumo otro impar (11), el resultado será par.

Pero, ¿qué pasa con 12^n+11?

Así llegué a este problema. A partir de otro muy similar que leí en una vieja entrada en un blog español genial.

Mi desarrollo del problema fue parecido al de mi amigo, aunque habría que aclarar:

12^1 termina en 2 y al sumar 11 el resultado es primo (23).

Pero 12^5 también termina en 2 y al sumar 11 el resultado es compuesto (es múltiplo de 7).

Otra aclaración, que a mi amigo le comenté en el llamado telefónico, es la siguiente:

En mi solución sobre 12^3 indico:

(37*48)-37 = 37*47

Esto es verdadero, como cualquier podría verificar haciendo las cuentas, pero ¿por qué?

Nos enseñan que, como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no altera el producto, lo que es cierto.

Pero conviene pensar la multiplicación en forma de sumas, en cuyo caso habría una diferencia entre hacerla de un modo u otro. Veamos:

37*48 lo podemos pensar como "sumar 37 veces 48" es decir: 48+48+48+48...37 veces.

Y 48*37 como "sumar 48 veces 37", es decir: 37+37+37+37...48 veces.

Si hago esto último pero al final resto 37, es lo mismo que sumar el 37, unas 47 veces, en vez de 48.

BACKSTAGE: DETRÁS DE ESCENA

Aquí muestro otras dos páginas de mi anotador. En la primera vemos algunas anotaciones que hice sobre características de estos números. Arriba y a la derecha vemos la última nota de ese día, que fue clave.

En la siguiente página vemos cómo usé aquel dato para "solucionar" el problema. En ese momento me di por satisfecho. Pero al día siguiente pensé que no era una buena solución porque implicaba "sacar de la galera" un dato. ¿Acaso no se puede deducir?

Y así, luego de varios intentos, llegué a una solución que parece suficientemente buena, no?

A partir de lo dicho, quizás los lectores quieran pensar:

¿Qué pasa con 12^7+11? ¿Pasará lo mismo que con 12^3+11?

¿Qué pasa con 12^4+11 o 12^8+11?

En definitiva, si buscáramos una multi-solución general, ¿es posible hallarla? ¿12^1+11 es una excepción?

ALGO MÁS SOBRE POTENCIAS Y "EL RESTO"

En el ejemplo anterior, dijimos que 14^2 es 1 mod 3, es decir que al dividir 196 entre 3, sobra 1.

¿Esto ocurre para todo 14^n (cuando n es par)?

Lo podemos deducir:

Digamos que tengo algo que puedo dividir en 14, por ejemplo, 14 piezas de pan.

Si quisiera agrupar esas piezas de a 3 tendría 4 grupos de 3 y me sobrarían 2 piezas.

Si a lo anterior lo multiplicara por 14 (es decir, 14^2), me sobrarán 2*14=28, pero esas piezas las puedo agrupar en 9 grupos de a 3, y solo me sobrará 1.

Si a eso lo multiplicara por 14, sobrarían 14 piezas que puedo reagrupar en 4 grupos y me sobrarán 2 nuevamente (14^3).

Y si al resultado lo volviera a multiplicar, me sobrarían otros 28, que podría reagrupar para que sólo sobre 1 (14^4).

De ese modo podemos saber que toda potencia par de 14 es congruente con 1 mod 3; mientras que para los exponentes impares serán congruentes con 2 mod 3. Por eso, en todos los casos pares, 14^n+2 será múltiplo de 3.

CURIOSIDADES

1739 no es el número de taxi de Ramanujan, pero es también interesante, ya que figura en 24 listas de la OEIS.

Tanto 12^3 (1728) como 12^3+11 (1739) forman parte de la secuencia (A060980) por la cual el valor absoluto de la suma del primer dígito menos el segundo más el tercero menos el cuarto es igual a 12.

Es decir:

|1-7+2-8|=12

|1-7+3-9|=12

El número 1739 también se incluye en otra secuencia (A142463) por la cual el número es resultante de la ecuación:

a(n) = (2*n^2) + (2*n) - 1 para n=29

Y de otras secuencias, entre ellas, la (A098603) por la que:

a(n) = n*(n+10), para n=37, como ya había quedado demostrado inicialmente, ya que 1739=37*47.

CONCLUSIÓN

Los problemas planteados son simples. No hace falta, para solucionarlos, saber cálculo ni álgebra. Alcanza con aritmética básica. El Teorema General de la Aritmética dice que hay dos clases de números: los compuestos y los primos. Y los primeros se pueden componer, de forma única, al factorizar en primos.

No hace falta ser un genio para abordar estos problemas. Cualquiera, con conocimientos básicos de escuela media, está en condiciones. La "congruencia de módulo" creo que no se enseña en la escuela, pero sí se usa la función módulo en programación para saber si un número es múltiplo de otro.

Las matemáticas son muy útiles para descubrir cómo es la realidad: se usa intensamente en astronomía, física, así como en ciencias sociales.

Pero también son un gran pasatiempo. Es un juguete sin pilas, gratuito y apto para todas las edades.

Algunos usarán matemáticas más avanzadas: polinomios, números complejos, derivadas...

Al igual que los sudokus y los acertijos lógicos, las matemáticas, incluso las más simples, pueden ser entretenidas y ayudarnos a aprender a pensar. Se trata de ser creativos para dar con soluciones con las reglas dadas.

Hay quienes dicen que este juguete lo descubrimos y otros que lo inventamos. Pero nadie encontró estas reglas escritas en piedra al bajar de una montaña. Hubo que trabajar para crearlas. Por eso quedan aún conjeturas, problemas abiertos. Y es bastante probable que, de existir otras civilizaciones, tengan otros sistemas. Este maravilloso rompecabezas que son las matemáticas requiere de imaginación para saber cómo encajar las piezas de forma que la imagen resultante sea adecuada, hermosa, elegante☉

Para la imagen inicial usé la página: https://www.fotoefectos.com/.