T.E.L: 6 min.
Velocidad, aceleración...¿y algo más?
Me permito asustar al lector: en matemáticas (¡booo!), las derivadas e integrales, usadas en cálculo, son muy útiles y difíciles. La gente se espanta con solo mencionarlas. Ud. dice "derivadas" y eso deriva en que la gente salga espantada.
Pero, si Ud. logró superar el miedo, entonces quizás ya sepa qué es la derivada de una variable: se dice así a la tasa de cambio de una variable, en el tiempo y/o en el espacio.
Digamos que la posición de un objeto es x y que en un determinado momento (tiempo) será entonces x(t), que podemos leer como "la posición de x en el tiempo t", donde x y t son dos números que refieren al espacio y tiempo, respectivamente; entonces luego de algún cambio en espacio y tiempo, tendremos otra posición x+algo (t+algo). O, usando otra notación, en un primer momento será x1(t1) y luego x2(t2). Si hay diferencia entre una posición y otra, entonces el objeto se movió a cierta velocidad. La tasa de cambio en la posición de un objeto es la velocidad. A la tasa de cambio se le dice "derivada", por tanto la PRIMERA derivada de la posición es la velocidad. Cómo se calcula es otra historia. No hablaré aquí sobre la recta secante y la recta tangente.
El cambio en la posición podría ser a velocidad constante. Sin embargo, podría haber un cambio en la velocidad. Es decir, la velocidad (que dijimos es la tasa de cambio en la posición) también puede cambiar y aumentar o disminuir. Tendremos entonces una tasa de cambio de una tasa de cambio. En tal caso, tendremos la SEGUNDA derivada de la posición, o primera derivada de la velocidad: la aceleración.
¿Hay una tercera derivada de la posición? ¿O, lo que es igual: hay una derivada de la aceleración?
Respuesta corta: Si, hay tercera, cuarta, quinta derivadas.
El físico Sean Carroll tiene un blog y un canal de YouTube. Durante la pandemia publicó una serie de videos sobre "Las mejores ideas del Universo". Dentro de esa serie habló sobre el tema y enumeró las diferentes derivadas:
Tercera derivada: jerk (tirón)
Cuarta derivada: snap o jounce (chasquido o rebote)
Quinta derivada: crackle (crujido)
Sexta derivada: pop (estallido)
Y TODO ESTO QUÉ ES REALMENTE
Al ver aquel video, recordé haber leído algo sobre el asunto, algo a lo que no le dí mucha importancia, aunque era llamativo: La cúpula de Norton. ¿Sabe a qué me refiero? Es largo de explicar, pero seré sintético:
Un tal Norton publicó hace un tiempo algo difícil de entender: usando sólo física clásica (Newtoniana, determinista), demostró que un objeto como una pequeña bola, en la cima de una cúpula, con posición x, en reposo, SIN VELOCIDAD NI ACELERACIÓN, sin fuerza o impulso o viento, en un momento dado, se mueve y cae por la pendiente de la cúpula o domo. La explicación, casi de magia negra, radica en que según los cálculos, la primera y la segunda derivadas son cero, lo que es esperable. Pero la cuarta derivada no lo es. Así que la clave en la explicación es el snap. La explicación específica la dejo a través de un enlace, abajo. En cualquier caso, se trata más de un experimento mental que de algo que tenga aplicación concreta. De modo que no me sirve mucho para entender el asunto.
SEÑOR, NO ME VENDA HUMO, DEME UN EJEMPLO CONCRETO YA MISMO O LLAMO A UN ABOGADO
Hallé un trabajo sobre al asunto que me ayudó a entender. Es un paper de David Eaguer y otros, que usaré aquí como guía.
Pensemos lo siguiente. La velocidad no ocurre de repente, sino que crece desde cero, así que debe haber un tirón involucrado. Pero ese tirón no ocurre de repente, sino que crece desde cero. Así que debe haber un otro tirón (chasquido, snap) involucrado, y así.
La mayoría de las situaciones de movimiento del cuerpo humano están diseñadas para minimizar los efectos biomecánicos en nosotros, como tomar un avión, un barco. Pero en algunos casos es más bien al revés (hasta cierto punto), por ejemplo: las montañas rusas (rollercosters).
Los autores usan un par de frases para dar cuenta de estos términos en el lenguaje informal, en inglés: ‘She jerked the phone out of his hands’; 'The carriages jerked and jolted along as the train moved forward'. En español: "Ella le arrancó el teléfono de las manos"; "Los vagones se sacudían y se sacudían a medida que el tren avanzaba".
En un auto, un conductor experimentado acelerará en forma paulatina, mientras un novato lo tendrá una conducción "tironeada" (jerky). Cambiar de marcha con embrague manual puede provocar que el coche se sacuda en la carretera, provocando tirones y chasquidos. En física, jerk y snap deberían siempre ser considerados cuando ocurren vibraciones y particularmente cuando esta excitación induce varios modos de vibración. Deberían ser consideradas siempre que ocurre una transición como empezar y finalizar, despegar y descender, acelerar y desacelerar.
Las montañas rusas involucran transiciones entre diferentes tipos de movimiento. Si el radio de curvatura en una transición cambia abruptamente, genera un cambio súbito en aceleración, un tirón (jerk). Como ejemplo, consideramos un bucle circular hipotético que cambia abruptamente a un segmento recto, lo que implicaría cambiar de al menos 5g a quizás 1g al final, en poco tiempo. Jerk y snap pueden tener efectos negativos en el cuerpo humano, así como en la estructura de los objetos materiales.
El tirón es común en la experiencia cotidiana, aunque raramente nos demos cuenta y difícilmente se enseña en mecánica. Sin embargo, minimizar el jerk es una consideración importante para una conducción suave de los transportes o el diseño cómodo y estable de las montañas rusas. La tolerancia humana y confort ha sido medido y es bien conocido. Pero la tolerancia a jerk y snap no se conoce tanto.
Es más difícil encontrar ejemplos de crackle y pop. En un conocido "foro", Reddit, un usuario da las siguientes explicaciones (traducción mediante):
El chasquido es acelerar la aceleración, es decir, pisar el pedal del coche de forma que la aceleración aumente de forma constante. Esto hace que el coche vaya más rápido a un ritmo de aceleración. El tirón, como lo llamamos, es cero cuando el pie está firme en su nuevo punto de aceleración y rápidamente se vuelve negativo a medida que el coche empieza a ganar velocidad.El crujido, o sacudida, entra en juego si pisas el pedal lentamente al principio y luego con más fuerza (suponiendo que todo lo demás se mantiene constante y esto sucede con relativa rapidez), lo que significa que la aceleración aumenta a un ritmo cada vez mayor. Estás pisando a un ritmo cada vez mayor.El estallido sería el crujido en una colina. Estás acelerando debido a que estás en una colina, además de que estás pisando el pedal para que aumente tu aceleración (chasquido), además de que estás pisando el pedal cada vez con más fuerza (aumentando la velocidad a la que aumenta tu aceleración).
En ese mismo posteo se agregan otras derivadas no mencionadas en otras fuentes, como lock y drop.
ORIGEN DE LOS NOMBRES
Según Wikpedia: Snap , Crackle y Pop son las mascotas de dibujos animados de Rice Krispies , una marca de cereales para el desayuno comercializada por Kellogg's y sus empresas sucesoras.
¿LA TASA DE CAMBIO SOBRE LA TASA DE CAMBIO ES UN FENÓMENO INFINITO?
Si aceptamos que por cada variable puede o efectivamente suele haber una tasa de cambio y si tal tasa de cambio se puede considerar también una variable, ¿no entramos en un bucle infinito? ¿Puede haber algún límite a esto o es posible pensar infinitas derivadas de la posición en el tiempo?
No he intentado buscar una referencia bibliográfica al respecto, pero sólo por lógica y experiencia fáctica diría que sí: si hay algún límite como la escala de Planck, debería haber también un límite en esto. Por otro lado, nuestros órganos no tienen sensibilidad infinita y los instrumentos y procedimientos científicos no poseen tampoco precisión sin límites.
Algo, sin embargo, me juega en contra en este razonamiento: alcanza con ir a un supermercado y ver góndolas infinitas, como góndolas de Hilbert, repletas de cereales: si depende de eso, habría que estudiar la relación entre la posición y la leche. Quizás sirva a los astrónomos para comprender mejor la Vía Láctea.☉
Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives
David Eager et al 2016 Eur. J. Phys. 37 065008
DOI 10.1088/0143-0807/37/6/065008
Newtonian physics IS deterministic (sorry Norton)
Snap, Crackle, and Pop
What practical roles do the 4th, 5th, 6th, 7th, and 8th derivative of displacement have? (snap, crackle, pop, lock, and drop)
Cosmic Jerk, Snap and Beyond
Maciej Dunajski, Gary Gibbons
Sobre las imágenes
Crédito: Rice Krispies
The Biggest Ideas in the Universe | 3. Force, Energy, and Action
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